Các dạng toán về số phức
Các phép tính về số phức: Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa số phức.
Bạn đang xem: Các dạng toán về số phức
Về ví dụ minh họa:
Cho số phức z = (2 + 7i) ( -1 + 3i). Số phức liên hợp của z là:
Hướng dẫn giải:
Cách 1: z = (2 + 7i) ( - 1 + 3i) = -2 + 6i - 7i + 21i² = - 2 - 21 + i (6-7) = -23 - i
Cách 2: Sử dụng máu tính fx 570 VNPLUS
Bước 1: Thiết lập chế độ sử dụng số phức: MODE 2
Bước 2: Nhập (2 + 7i) (-1 + 3i) ta được kết quả là - 23 - i.
Chọn đáp án D
Dạng bài 2: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
Về phương pháp giải:
Để tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, ta làm theo những bước sau:
Bước 1: Gọi số phức cần tìm có dạng z = x + yi (x, y ∈ ℜ).
Bước 2: Thay số phức vào phương trình khai triển
Bước 3: Chuyển về một vế, rút gọn và đưa về dạng A + Bi = 0
Bước 4: Cho phần thực A bằng 0, phần ảo B bằng 0. Thiết lập hệ phương trình
Chọn đáp án B
Dạng bài 3: Phương trình trên tập số phức
Ví dụ minh họa:
Kí hiệu z₁, z₂, z₃, z₄ là bốn nghiệm của phương trình z⁴ - z² - 12 = 0. Tổng T = |z₁| + |z₂| + |z₃| + |z₄| bằng:
Chọn đáp án C
Một số bài tập có lời giải
Đáp án : C
Đáp án : A
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn |z - 1 + 3i| + |z + 2 - i| = 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = |2z + 1 + 2i|.
A. maxP = 8; minP = √39.
B.maxP = 10; minP = √39.
C. maxP = 8; minP = 6.
D. max P = 10; minP = 6
Lời giải:
Ta có:
Đáp án : A
Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn |z + 2 - i| + |z - 4 -7i| = 6√2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = |z - 1 + i|. Giá trị của tổng S = M + m là:
Lời giải:
Cách 1: Dùng hình học
+ Đặt z = a + bi, khi đó điểm biểu diễn cho số phức z là M(a; b).
Gọi A(-2; 1); B(4; 7) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 = -2 + i và z2 = 4 + 7i, khi đó giả thiết là MA + MB = 6√2 mà AB = 6√2 nên từ đây suy ra M ∈ AB (đoạn).
+ Phương trình đường thẳng AB: x - y + 3 = 0 từ đó đoạn AB có phương trình như trên tuy nhiên x ∈ <-2; 4> .
+ Gọi C(1; -1) khi đó ta có:P = MC, với M thuộc đoạn AB
+ max MC = max{MA, MB} = max{√13, √73} = √73
+ Vậy đáp số là:
Cách 2: Dùng hình học và đại số
+ Đặt z = a + bi, khi đó điểm biểu diễn cho số phức z là M(a; b).
Gọi A(-2;1); B(4;7) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 = -2 + i và z2 = 4 + 7i, khi đó giả thiết là MA + MB = 6√2 mà AB = 6√2 nên từ đây suy ra M ∈ AB (đoạn).
Vì M ∈
+ Khi đó ta có:
Khảo sát hàm số trên ta được kết quả như trên.
Cách 3: Dùng bất đẳng thức mincopxki, như sau:
Giả sử z = a + bi, khi đó ta có:
Khảo sát hàm số từ đó tìm được kết quả của bài toán.
Câu 5. Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:
là hai đường thẳng d1 ; d2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 ; d2 là bao nhiêu?
A. d(d1 ; d2) = 2. B. d(d1 ; d2) = 4. C. d(d1 ; d2) = 1. D. d(d1 ; d2) = 6.
Lời giải:
Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi
Ta có:
Đáp án : B
Câu 6. Cho số phức z thoả mãn |z - 3 - 4i| = √5. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỉ nhất của biểu thức P = |z + 2|2 - |z - i|2. Tính module số phức w = M + mi
Cách 2:
|z - 3 - 4i| = √5. Nên (x - 3)2 + (y - 4)2 = 5 (C)
Δ 4x + 2y + 3 - P = 0. Tìm P sao cho đường thẳng ∆ và đường tròn (C) có điểm chung
⇔d(I; Δ) ≤ R ⇔ |23 - P| ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33
Vậy Max P = 33; MinP = 12
Đáp án : B
Câu 7 . Cho ba số phức z1; z2; z3 thoả mãn hệ:
Tính giá trị của biểu thức: T = |az1 + zb2 + cz3|
Lời giải:
Suy ra hoặc x = k2π hoặc y = k2π hoặc x + y= k2π do đó hai trong ba số z1; z2; z3 bằng nhau.
Câu 8. Cho số phức z thay đổi và thỏa mãn |z - 1 - i| = 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2|z - 8i| - |z - 7- 9i|
Lời giải:
Gọi M(x ; y) biểu diễn số phức z, từ |z - 1 - i| = 5 thì M nằm trên đường tròn
(x - 1)2 + (y - 1)2 = 25 có tâm và bán kính :I(1 ;1) và R = 5.
Gọi A(0 ;8) ; B(7 ; 9) thì
Phân tích : mục tiêu tìm tọa độ điểm sao cho MB = 2MC, nhận thấy IB = 2IM = 2R nên ta có hai cách tìm tọa độ điểm C như sau :
